La Dinámica de Sistemas , los Modelos Matemáticos, como herramientas para mejorar el aprendizaje de las ciencias.

Daniel Héctor Nacif.

Resumen

La sociedad de la información es un conjunto “en cambio”, exige que las organizaciones se adapten, revisen su coherencia y formas de actuación, en relación con las necesidades del entorno.

La educación técnica secundaria, superior y universitaria, es criticada porque no cubre las expectativas que la sociedad tiene de ellas. A menos que surja un concepto nuevo que mejore la educación, la sociedad no cambiará su opinión.

Se presenta un trabajo exploratorio sobre la Dinámica de Sistemas, como factor de innovación pedagógica aplicada al aprendizaje científico mediante el uso de los Modelos Matemáticos, en el último año del Profesorado de Matemática del Instituto de Educación Superior de Formación Docente y Técnica Nº 9-002.

Los resultados obtenidos por aplicación del método en los estudiantes lo califican de prometedor.

Los alumnos, se destacaron, con originalidad de resultados; buenos logros en el proceso matemático para la resolución de problemas, con la tecnología disponible. Respecto del método sistémico descollaron en la interacción de los elementos y en sus efectos, además desarrollaron una percepción global. No lograron buenos resultados en la combinación entre el método y el uso deliberado de estrategias.

Palabras clave: Dinámica de Sistemas – Matemática (Modelos Matemáticos) – Didáctica de la Matemática – Metrología Visual.

  1. Introducción

La innovación es una necesidad que se produce porque la sociedad cambia y las organizaciones mutan. En consecuencia, las personas, sus relaciones, acciones y resultados necesitan actualizarse.

La falta de continuidad en políticas educativas, tiene como consecuencia la importación de iniciativas externas descontextualizadas, al campo educativo.

La forma tradicional de enseñar ciencia y tecnología en Argentina, hace prevalecer la memorización y la descripción de eventos en forma compartimentada.

Gracias a los avances de la Dinámica de Sistemas (DS), está surgiendo un enfoque fundamentalmente nuevo y más efectivo para la educación. La DS ofrece un marco para dar cohesión, significado y motivación a la educación en todos los niveles, desde la educación primaria en adelante. Permite modificar la secuencia educativa tradicional, en la que años de memorizar hechos han precedido a la comprensión de los mismos.  El profesor en esta nueva escena, actúa como guía y no como un simple depositario de la sabiduría.

Si bien la DS comenzó a aplicarse en el ámbito educativo en décadas anteriores Forrester, (1998), se requieren nuevos experimentos controlados Gay, (1996) para profundizar su aplicación en el campo de la educación (EMPIRIA).

Respecto de los trabajos de investigación realizados en el área de la educación, Mendible,et al ( 2007), Barón(2008), Cruz (2010), IDEAD (2008), Mautino, (2008), López (2015); todos ellos resaltan el hecho de que los estudiantes se benefician al usar DS como método de enseñanza y de aprendizaje.

Este trabajo pretende analizar, si la aplicación de Modelos Matemáticos (MM) a la resolución de problemas científicos constituye una herramienta usable por parte de la Dinámica de Sistemas Adaptada (DSA), esto se lo trabajó con  los alumnos pertenecientes al último año del Profesorado de Matemática del Instituto de Educación Superior de Formación Docente y Técnica Nº 9-002 (IES 9-002).

  • Resultados y Discusión

Los datos evaluados han sido registrados durante estos dos últimos años. En estos se destaca una información relevante en cuanto al aprendizaje.

La elección de esta metodología está basada, en que la DSA parece ser una metodología promisoria, debido a la naturaleza descriptiva de las relaciones entre diferentes elementos, cambios en el tiempo, así como causas y efectos relacionados con sucesos pasados, presentes y futuros. Además, que puede proveer una base sólida para ser transferida a diferentes campos de estudio o a diferentes sucesos, dentro del mismo campo.

Se considera que este trabajo, explora un proceso creativo, que busca convertirse en una herramienta disponible, para que el estudiante aprenda a utilizar los MM.

Se reconoce la escalabilidad de la DS como propiedad notable, de tal manera que los recursos que se administren ocupen un lugar importante en lo que respecta al método propuesto. A esta capacidad, le sigue la adaptación de los recursos eventualmente usados. Esto último, está sujeto a las intenciones y acciones que ejecuten las personas para lograrlo; las que, en forma metódica, son el resultado del pasaje por diferentes fases de la DS, las cuales se las puede encuadrar en:

  1. Una visión prospectiva: que atiende al tipo de recurso elegido, a su especificidad y a las estrategias adoptadas.
  2. Una visión retrospectiva: que aporta nueva información a la secuencia de fases elegidas hasta llegar al objetivo propuesto.
  3. Un modelamiento funcional, que como resultado de las fases anteriores, posibilita en modo ideal, una síntesis de ciertos aspectos notables referente a la naturaleza del sistema que está bajo estudio
  4. Una simulación, que como fase final a la modelización, permite recrear en el tiempo, aspectos de la naturaleza del sistema en estudio.

La modelización constituye una competencia de innegable utilidad práctica. El diseño en particular, es una actividad que se apoya en la relación entre el mundo físico o conceptual extra-matemático con los entes abstractos de la matemática, considerando las formas y estructuras que prevén comportamientos. Como se esquematiza en la Figura 1.

Figura 1. Interpretación de la realidad a través del comportamiento

El uso de los modelos (matemáticos y no matemáticos), da cuenta de las relaciones entre los campos de conocimientos propios a su proceso formativo. La modelación resulta necesaria para reconocer las problemáticas del contexto y las necesidades de formación en el campo profesional, para luego articularlas con conocimientos matemáticos, como muestra la Figura 2.

Figura 2. Obtención de un modelo ideal a partir de los modelos anteriores

Se destaca dos resultado de la modelación:

  • comunicar el conocimiento; esta orientación de la matemática tiene que ver con esas relaciones establecidas con las otras ciencias.
  • proceso gestor de cambios y contextualización ejercida por el profesional; representa una filosofía de trabajo que se mueve en dos sentidos: de la realidad hacia el modelo y de éste hacia la realidad. Los modelos matemáticos productos de este proceso, son adecuados si ellos describen, explican y predicen con cierta exactitud, los efectos del fenómeno real presentado, Road Maps (2000), Wheat (2007).

La contextualización de la modelación matemática, el diseño en ingeniería y los aspectos relacionados entre dichos conceptos, generan algunas reflexiones y ciertas propuestas procedimentales, en relación con el diseño de experiencias didácticas, planteadas a través de ejemplos específicos.

Acercándonos al ejemplo, es importante retomar que una de las premisas de la DS; buscar el reconocimiento de patrones en cualquier ciencia.

Una imagen, como producto tecnológico, puede ser abordada desde distintas ciencias según su contenido, se analiza esta representación digital, desde estudios inscritos en la Matemática. Se observa un solo elemento: la imagen, cuyo propósito original puede ser alterado. Es decir, esta representación gráfica concebida originalmente como un “registro”, se convierte en un elemento activo de apropiación de conocimientos (sistema). En este caso, el producto tecnológico es expuesto como un resultado digital de datos que, mediante criterios adecuados, se transforma en información aprovechable, medible, y ponderada con las ideas emergentes (juicios o conclusiones) y cuya síntesis configura un modelo. El tratamiento descripto, posibilita inferir un conocimiento del sistema y establecer a priori, un análisis prospectivo a partir de éste. El modelo expresado (ME), constituye una formación escalable del sistema original indicado. A partir del nuevo sistema, se puede llevar a cabo un segundo análisis de carácter retrospectivo, que puede agregar nueva información a la existente en el punto de partida, que modifica el conocimiento primigenio obtenido. El desarrollo de estos saberes, llega a un punto máximo, establecido por la naturaleza del sistema seleccionado.

La relación entre datos, información y conocimiento puede analizarse a partir de la Figura 3.

Figura 3. Secuencia directa e inversa para inferir un conocimiento acerca del sistema

El uso de técnicas de simulación basada en la DSA y en particular, aplicada en la Metrología Visual (MV), tiene el propósito de aumentar el potencial de los estudiantes en la construcción de esquemas que combinan la riqueza descriptiva de los modelos verbales, con el rigor formal de los modelos matemáticos más abstractos.

El objetivo en MV es estimar distancias entre los objetos y tamaños de éstos, a partir de sus imágenes. La Metrología consiste en el estudio científico de la medición y los algoritmos que aspiran automatizar el proceso

En este caso en particular, se comenzará con la descripción y medición de la una superficie foliar. Para ello, se desarrollan técnicas propias de campos de estudio de la Morfología Vegetal (en sentido amplio, se entiende como el estudio de la estructura y forma de las plantas). Legorburo Serra (2005), Fernández et al (2010), Nacif, et al (2017).

La secuencia de esta investigación, comienza en la realidad, sistema bajo estudio (SBE inicial), hacia el MM. Luego se llega a la fase que constituye el proceso formativo, en la que se extraen ideas notables, conceptos. Se establecen analogías, se comparan con las estructuras matemáticas estándares. Se generan criterios de mediciones. Se desarrollan ideas emergentes, etc, para finalmente, lograr un modelo y vincularlo a la realidad nueva (SBE objetivo) que se pretende analizar.

Esta fase constituye el crisol en donde las ideas individuales y las grupales permiten avanzar desde un primitivo ME a un modelo consensuado. En la fase siguiente, tiene lugar la formación y concreción de un Modelo Conceptual o Científico, que se forma al contrastar un conjunto de observaciones con una realidad conocida. La validación se produce cuando el Modelo Numérico basado en esa realidad conocida, es capaz de reproducir también el conjunto de observaciones.

Los Modelos Científicos reales se forman con MM, estos determinan el conjunto de ecuaciones que gobiernan al sistema que se estudia y del cual se tienen observaciones metódicas. El propósito es encontrar soluciones analíticas a esas ecuaciones, para validarlas, con el fin de posibilitar su uso (p. ej., la predicción del comportamiento del sistema, partiendo de un conjunto de parámetros y condiciones iniciales).

El SBE inicial es una imagen digital muy sencilla, una hoja de vid, Nacif, et al (2017) y Gonzalez Sánches (2012) que se aprecia mediante una inspección visual. Mediante un proceso de cómputo, se transforma la imagen en una serie de datos, los cuales, mediante algoritmos adecuados, obtienen cierta información. Ver figura 4.

Figura 4. Secuencia de procesamiento de imagen. De los datos a la información. Se sintetiza la imagen, a través de la identificación de patrones, es decir el esquema que contiene los rasgos principales del SBE inicial.

Parte de esta información se utilizará, para establecer un análisis geométrico adecuado, que interpreta el área de una superficie amorfa y el perímetro de su forma. En esta imagen, el cálculo de su superficie y del perímetro mencionado, constituyen la fase inicial para desarrollar los parámetros geométricos que propiamente interpretados, con un análisis prospectivo (mediante técnicas y conocimientos adaptados), culminarán en la descripción de un nuevo modelo geométrico, que servirá para emular las características notadas y buscadas en un viñedo, desde sus imágenes digitales.

Entre el SBE inicial y el SBE objetivo, se lleva a cabo el proceso del aprendizaje (estructural), que posibilita la reinterpretación (coyuntural) de las ciencias en un escenario práctico. Durante el aprendizaje, se destacan procesos de transformación del conocimiento, adaptación; que se encuentran dentro de diferentes contextos. Ver Figuras 5 y 6.

Figura 5. Describe la captura de diferentes planos imágenes de un viñedo (SBE objetivo)

Figura 6. Imagen en geometría perspectiva, plantilla utilizada sobre la imagen de profundidad del viñedo.

El trabajo pretende mostrar el funcionamiento de un producto tecnológico (la imagen digital) y a través de él, inferir en forma organizada, el conocimiento de su conformación. Además, se codificará dicho conocimiento, para que pueda ser procesado, impartido y recreado, mediante el uso de las estrategias propias de la DSA. Los datos obtenidos son presentados en la tabla 3. Observe que en esta se destacan 6 niveles de valoración. El concepto de óptimo se lo relacionó como el que es el mejor de su clase o tipo, y se dejo para significar como excelente al que es el mejor de lo mejor.

Tabla 3: Primer registro de valores de la encuesta dada a los alumnos

Pautas de evaluación pedagógicasValorEscala de valoración
Integración de las matemáticas con otras áreas del conocimiento51 → Malo 2 → Regular 3 → Bueno 4 → Muy Bueno 5 → Óptima 6 →Excelente
Interés por las matemáticas frente a su aplicabilidad3
Capacidad para leer, interpretar, formular y resolver situaciones-problemas4
Estimular la creatividad en la formulación y resolución de problemas4
Propicia la habilidad en el uso de la tecnología (calculadora gráfica, computadoras, etc.)4
Captación sinóptica del rango de valores que puede adoptar la solución de un problema3

Justificación del uso de la DSA

El construir cosas, constituye definitivamente una capacidad que pueden desarrollar todos. Por ejemplo, en un plano, en el cual se boceta al objeto terminado (esquema desfragmentado), se observa su fragmentación en unidades; o el caso de diagramas explotados de un dispositivo en sus piezas y partes. Para su comprensión, posteriormente, tiene lugar un proceso holístico en términos prácticos, una operación de construcción de piezas reales, que permite entenderlo como un todo.

Como aporte ilustrativo se trae a este contexto aquellos fantásticos juegos de ingenio, para niños y adultos, que construyen objetos, como es el caso del famoso LEGO, el legendario Mecano, u otros similares, con piezas unitarias dotadas de pequeños imanes, etc. Este sistema de bloques, se da también en el modelismo aeronáutico, naval, ferroviario, automotriz, en su versión moderna con radio control con sus diferentes niveles de avances; todos constituyen buenos ejemplos de edificación, siendo la ilusión de lograr el producto terminado, la motivación que empuja a mirar aún más allá. La visualización de partes y componentes de un objeto, gracias al despiece mediante el dibujo. Esta herramienta ha representado, una poderosa manera de entender cómo funcionan las cosas. En este sentido, construir desde temprana edad, conlleva una gigantesca y esperanzadora imagen de manos y mente capaces de edificar el futuro. Si a esta idea primigenia se le suma el concepto de simulación, el resultado, en términos pedagógicos, puede ser sumamente prometedor.

Estos procesos tienen lugar en los estudiantes, considerados como sujetos de la acción pedagógica. Un esbozo del escenario en que ellos viven, se desarrollan y se forman como profesionales; permitirá conocer el entorno en que un estudiante típico interactúa y al que está dirigido el efecto de estas herramientas. El ambiente es importante, ya que los jóvenes, están inmersos en una sociedad global que configura desde el exterior y el interior, la forma en que aprenden.

Se realiza una descripción de aspectos notables relacionados con el ámbito cercano al educando: la sociedad global, la gestión del conocimiento, el uso de las nuevas tecnologías y, por último, el acervo de conocimientos disponibles.

  1. En la sociedad global, se pone el acento en los datos, la información, el conocimiento, el aprendizaje y en la diversidad. Este tejido social, se caracteriza entre otros aspectos, por la globalización de los sistemas económicos, políticos y sociales, por una aceleración cada vez mayor de los cambios y por un crecimiento exponencial de la información, menos estructurada e irrelevante, que se encuentra disponible.
  2. La gestión del conocimiento es uno de los procesos fundamentales en la sociedad actual. Ella trata de conocer y aprovechar el beneficio colectivo que se obtiene de una labor, a partir del capital intelectual de los miembros del conjunto. Pero el conocimiento que se maneja es muy sesgado, ya que se destaca lo utilitario y momentáneo.
  3. El uso de nuevas tecnologías, por sí mismo, no implica un cambio en el modo de realizar las labores usuales. Sólo mediante un criterio adecuado, se puede lograr un cambio de paradigma socioeducativo en las personas que han de desarrollar esas labores, cuando se sienten parte de la transformación.

La tecnología se define como el conjunto de: herramientas hechas por el hombre, como los medios eficientes para un fin o como el conjunto de artefactos materiales. Pero, con una mirada genérica y más profunda, se puede manifestar que la misma se nutre de los aprendizajes de las ciencias y también de prácticas instrumentales, como la creación, fabricación, el uso de los medios y las máquinas. Incluye el conjunto de desarrollos técnicos productivos y creativos. Y por último, está íntimamente conectada con las necesidades institucionales y los fines previstos a los cuales las tecnologías sirven.

  • La cantidad de conocimientos acumulados por cada área del saber y la secuencia para poder apropiarse de éstos, implica esfuerzos muy grandes de índole física, mental y temporal.

Por lo expresado, el conocimiento como factor común, se erige como un bien de gran valor estratégico, en la búsqueda constante de nuevas formas de generar, gestionar, controlar dicho conocimiento. Para ello, se construyen sistematizaciones conceptuales, que dan cuenta de los procesos de reflexión, análisis, construcción de saberes y en el caso de la Tecnología como aplicación de la Ciencia, se acentúa el trabajo “in situ”, dando legitimación y puesta en valor a este tipo de saberes. Lo que resulta interesante la incorporación en las aulas, aquellos temas que emergen de estas prácticas.

En general, en el campo de la educación, la DS ha sido utilizada como una herramienta que facilita el desempeño de los estudiantes en situaciones ficticias parecidas a las reales, en las que pueden tomar decisiones, sin temor a equivocarse. Se podría destacar en particular, la estructura y potencial del ejemplo previamente mencionado; poniendo de relieve las capacidades de adaptabilidad por medio de la escalabilidad de la DS. Estas capacidades posibilitan incorporar estrategias o recursos (adaptabilidad) provenientes de varias áreas, como ser: MetrologíaVisual, Simulación, Método del Diseño y Visión Retrospectiva, entre otras.

Con la mirada en los alumnos, la generación de conocimiento grupal, es algo diferente a la creación de conocimiento individual. Esta visión ayudará a entender el impacto potencial de los flujos de conocimiento. En términos concretos, el conocimiento es desarrollado sólo por los individuos. En un grupo u organización, no se puede generar conocimiento sin individuos. El hecho de reunir o agrupar a los alumnos, posibilita y potencia, mediante la herramienta propuesta, el desarrollo de la creatividad individual. En este sentido, el contexto contribuye a que los estudiantes acrisolen de un modo particular los conocimientos de las ciencias de base y además, generen conocimientos asociados a éstas. De este  modo, el alumno no se convierte en un espectador del conocimiento, sino que participa en él. Por lo tanto, la generación de este tipo de conocimiento, operado por la DSA, constituye el proceso que amplifica el saber generado por los individuos.

El dispositivo tecnológico (DT), como herramienta didáctica, se lo describe en las imágenes digitales seleccionadas, que representan una gran cantidad de datos de información de luz, pero que debidamente interpretados, éstas proporcionan información de formas, distancias, características de composición del sistema, descripción de un escenario, etc. Estas características cobran importancia según la apreciación subjetiva. Por lo que el objetivo es destacar, seleccionar y utilizar aquellas imágenes digitales (dispositivo tecnológico de uso determinado) empleadas como herramientas didácticas, y convertirlas en un elemento conceptual (aquél que reúne conceptos de muchas ciencias, aplicable con criterios de integración de las diferentes áreas del conocimiento).

Tabla 4: Segundo registro de valores de la encuesta dada a los alumnos

Pautas de evaluación sobre la DSAValorEscala de valoración
¿El DT  seleccionado, fue una herramienta didáctica adecuada?41 → Malo 2 → Regular 3 → Bueno 4 → Muy Bueno 5 → Óptimo 6 → Excelente    
¿Hay adaptación de la teoría al entorno de aprendizaje?5
¿Desarrolló tu capacidad de observación?4
¿Te permitió organizar tu conocimiento?.5
¿Pudiste trabajar en forma flexible? (lo puesto a la rigidez, a la incapacidad de modificar comportamientos y generar nuevas respuestas frente al cambio y a situaciones novedosas).3
La propuesta te permitió realizar un trabajo interdisciplinario? Es decir, manejar distintas áreas de conocimiento.3
Tu forma de pensar te llevó a alternar entre el método y el caos (uso deliberado de estrategias).2
En la tarea se combinaron momentos de reflexión individual con pensamiento grupal.5
Lograste Productividad o Fluidez?:Se refiere a la cantidad de respuestas y soluciones dadas por el sujeto ante una situación.3
¿Estás conforme con el proceso de Elaboración?. En relación con la organización de la información. Se valora positivamente tu capacidad de para expresarse con la mayor precisión posible.3
¿Pudiste realizar procesos de Análisis?. Como capacidad para descomponer o fragmentar mentalmente una realidad en sus partes. El análisis suele centrarse en la facultad para distinguir y diferenciar unos conceptos de otros.3
¿Pudiste desarrollar habilidades de Síntesis? Esto se relacionacon la capacidad de elaborar esquemas, organizar la información y extraer los rasgos más valiosos.3
Tuviste momentos creativos?  Es decir, a partir del conocimiento dado generar nuevos conocimientos, estrategias, etc.3
¿El trabajo incrementó tu apertura mental?: Se refiere al desarrollo de habilidades para afrontar retos y resolverlos, buscando la mayor cantidad de alternativas posibles.4
¿Pudiste desarrollar la capacidad de interactuar para resolver problemas?: Empatía para percibir y descubrir situaciones difíciles y problemáticas. Cada persona trata de encontrar la mejor solución posible.5
¿Pudiste aplicar el conocimiento ante situaciones emergentes? (Redefinición): Capacidad de encontrar, funciones, aplicaciones y definiciones diferentes a las habituales. Atribuir funciones y fines que no eran inicialmente los previstos o los que contribuyeron a elaborar el objeto2
¿Considera que tu sentido común se fue desarrollando en el transcurso de este período?.3
¿Los factores inesperados,  fueron relevantes para el proceso?3
Con una mirada hacia atrás (en retrospectiva) ¿puedes trazar el camino de tu aprendizaje?4
¿Consideras, que los resultados de tu labor fueron originales?4
  • Conclusiones

Respecto de la hipótesis: “la aplicación de Modelos Matemáticos (MM) a la resolución de problemas científicos constituye una herramienta usable por parte de la Dinámica de Sistemas Adaptada (DSA)”

A – Logro de la resolución de problemas a través de MM

Conclusión (1) Lograron muy buen nivel en su capacidad para leer interpretar, formular y resolver situaciones problemas. Al igual que en su capacidad de creatividad utilizada para la resolución de problemas. Muy buenos valores se obtuvieron  en las habilidades en el uso de la tecnología (calculadora gráfica, computadora, etc). Como así también en la obtención de resultados originales

Conclusión (2) Se logró un resultado regular en el desarrollo en la capacidad de expresión y habilidades de comunicación como así también en la aplicación del conocimiento ante situaciones emergentes.

B-Apropiación de conocimientos respecto a la DS

Según las características sistémicas De Rosnay (hoja 4).

Conclusión (1) “se concentra sobre la interacciones de los elementos” (relaciona)

-Los alumnos registraron óptima adaptación de la teoría al entorno del aprendizaje. Como así también en la organización del conocimiento.

Conclusión (2) “se basa en considerar los efectos de las interacciones”.

-Obtuvieron óptima puntuación en la integración de las matemáticas con otras áreas del conocimiento

Conclusión (3) “se basa en la percepción global”.

-En muy buena medida pudieron trazar el camino de su aprendizaje; así como también desarrollar habilidades de síntesis (incremento de la capacidad de elaborar esquemas, organizar la información y extraer los rasgos más valiosos).

Conclusión (4): “integra duración e irreversibilidad”.

-Lograron un resultado regular en la alternancia entre el método y el caos (uso deliberado de estrategias).

Conclusión (5) “respecto del método sistémico como herramienta didáctica”.

-Los alumnos consideraron que el adecuado desde el punto de vista didáctico y sobre todo par a exponer los beneficios de la Dinámica de Sistema Adaptada

Conclusión general

Los estudiantes tuvieron buenos logros en el proceso matemático para la resolución de problemas, utilizando la tecnología disponible.

Destacaron la originalidad en sus resultados.

Respecto del método sistémico descollaron en la interacción de los elementos y en sus efectos

Pudieron desarrollar su percepción global. No lograron buenos resultados en la combinación entre el método y el uso deliberado de estrategias.

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